Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Сведём систему к двум уравнениям. Равенство y² = x² равносильно совокупности y = x или y = −x.
На прямой y = x абсциссы решений удовлетворяют уравнению (a + 2)x² + (2a − 1)x + a − 2 = 0.
На прямой y = −x получаем уравнение (a + 2)x² + (2a + 1)x + a − 2 = 0.
Прямые имеют единственную общую точку (0; 0). Она принадлежит графику первого уравнения системы тогда и только тогда, когда a = 2.
б) Рассмотрим особые значения. При a = −2 первое уравнение системы принимает вид y = −4x − 4. Его пересечения с y = x и y = −x дают соответственно x = −4/5 и x = −4/3. Получаются ровно два решения.
При a = 2 уравнения для абсцисс имеют вид x(4x + 3) = 0 и x(4x + 5) = 0.
Общая точка (0; 0) учитывается один раз, поэтому при a = 2 система имеет три различных решения.
в) Рассмотрим a ≠ −2 и a ≠ 2. Оба уравнения квадратные, а решения на разных прямых не совпадают. Поэтому ровно четыре решения получаются тогда и только тогда, когда каждое квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
Дискриминант первого уравнения: D₁ = (2a − 1)² − 4(a + 2)(a − 2) = 17 − 4a.
Дискриминант второго уравнения: D₂ = (2a + 1)² − 4(a + 2)(a − 2) = 17 + 4a.
Условия D₁ > 0 и D₂ > 0 одновременно выполняются при −17/4 < a < 17/4.
При a = ±17/4 один дискриминант равен нулю, поэтому решений не более трёх. За пределами этого промежутка один дискриминант отрицателен, поэтому решений не более двух.
Из найденного открытого промежутка исключаем разобранные значения a = −2 и a = 2. При всех оставшихся значениях обе прямые дают по два различных решения без совпадений.
Ответ: a ∈ (−17/4; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; 17/4).