Найдите все значения , при которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и равносильное преобразование.
На отрезке [0; π] тангенс определён при x ∈ [0; π/2) ∪ (π/2; π].
По формуле разности квадратов исходное уравнение равносильно равенству 4(2x + a)(1 − tg x) = 0.
Следовательно, 2x + a = 0 или tg x = 1.
б) Исследование корней.
Общее решение уравнения tg x = 1 имеет вид x = π/4 + πk, где k — целое число. На заданном отрезке подходит только x = π/4.
Таким образом, один корень существует при любом a. Линейное уравнение даёт дополнительный кандидат x = −a/2.
Он принадлежит [0; π] тогда и только тогда, когда −2π ≤ a ≤ 0. При этом x = π/2, соответствующий a = −π, исключён из ОДЗ.
в) Разбор всех значений параметра.
Если a < −2π или a > 0, линейный корень вне отрезка, поэтому решение единственно.
Если a = −π, линейный корень не определяет тангенс, поэтому остаётся только x = π/4.
Если a ∈ [−2π; 0] и a ≠ −π, оба корня допустимы. Единственность возможна только при их совпадении: −a/2 = π/4, то есть a = −π/2.
При остальных значениях из этого промежутка корни различны. В частности, при a = −2π дополнительный корень равен π, а при a = 0 — нулю; оба допустимы, поэтому границы не включаются.
Ответ: a ∈ (−∞; −2π) ∪ {−π; −π/2} ∪ (0; +∞).