Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Замена переменной и раскрытие модуля.
Положим t=x+1 и c=−a−2. Замена взаимно однозначна, поэтому число различных корней сохраняется.
Уравнение принимает вид t|t|−2t=c.
При t ≥ 0 получаем (t−1)²=c+1; при t<0 получаем (t+1)²=1−c.
б) Число корней на каждой области.
На области t ≥ 0 при c<−1 корней нет; при c=−1 имеется один корень t=1.
При −1<c≤0 оба числа t=1±√(c+1) неотрицательны и различны, поэтому корней два. При c>0 условию t ≥ 0 удовлетворяет только t=1+√(c+1).
На области t<0 при c>1 корней нет; при c=1 имеется один корень t=−1.
При 0<c<1 оба числа t=−1±√(1−c) отрицательны и различны, поэтому корней два.
При c≤0 отрицательным является только t=−1−√(1−c). Второе число неотрицательно; в частности, при c=0 оно равно нулю и в эту область не входит.
в) Объединение случаев.
При c<−1 общее число корней равно 0+1=1; при c=−1 оно равно 1+1=2.
При −1<c≤0 число корней равно 2+1=3; при 0<c<1 оно равно 1+2=3.
При c=1 число корней равно 1+1=2; при c>1 оно равно 1+0=1.
Таким образом, ровно два различных корня получаются только при c=−1 или c=1. Из c=−a−2 находим соответственно a=−1 или a=−3.
Ответ: a ∈ {−3; −1}.