Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Область определения и возможные корни.
Обозначим t = |a − 3| ≥ 0. Подкоренное выражение равно (x − 3)² − t².
На отрезке [0; 3] условия определения имеют вид x > 1/4 и 3 − x ≥ t, то есть 1/4 < x ≤ 3 − t.
Произведение равно нулю, если ln(4x − 1) = 0 или (x − 3)² − t² = 0, при соблюдении области определения.
Первое равенство даёт x = 1/2; этот корень допустим при t ≤ 5/2. Второе на [0; 3] даёт только x = 3 − t; он допустим при t < 11/4.
б) Число различных корней.
При 0 ≤ t < 5/2 оба корня допустимы и различны, поскольку 3 − t > 1/2: корней два.
При t = 5/2 оба найденных значения совпадают: x = 1/2, поэтому корень ровно один.
При 5/2 < t < 11/4 допустим только корень x = 3 − t, поэтому корень ровно один.
При t ≥ 11/4 область определения на заданном отрезке пуста, корней нет.
Следовательно, необходимое и достаточное условие: 5/2 ≤ |a − 3| < 11/4.
в) Возвращение к параметру.
Получаем −11/4 < a − 3 ≤ −5/2 или 5/2 ≤ a − 3 < 11/4.
Ответ: a ∈ (1/4; 1/2] ∪ [11/2; 23/4).