Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Сведение к двум квадратным уравнениям.
Второе уравнение равносильно x² − xy − x + y = 0, то есть (x − 1)(x − y) = 0. Поэтому каждое решение лежит на одной из прямых x = 1 или y = x.
При x = 1 первое уравнение принимает вид ay² + 2ay + 6 − a = 0.
При y = x получаем 2ax² + 5x + 1 = 0.
Общая точка этих прямых — (1; 1). Она удовлетворяет первому уравнению тогда и только тогда, когда 2a + 6 = 0, то есть a = −3.
б) Исследование числа решений.
При a = 0 исходное первое уравнение имеет вид 5x + 1 = 0. На прямой x = 1 решений нет, а на прямой y = x получается единственное решение (−1/5; −1/5). Значение a = 0 не подходит.
Пусть a ≠ 0. На каждой из двух прямых возможно не более двух решений. Поэтому ровно четыре различных решения получаются тогда и только тогда, когда оба квадратных уравнения имеют по два различных корня, а точка пересечения прямых не является решением системы.
Для уравнения относительно y дискриминант равен D₁ = (2a)² − 4a(6 − a) = 8a(a − 3).
Условие D₁ > 0 равносильно a < 0 или a > 3.
Для уравнения относительно x дискриминант равен D₂ = 25 − 8a.
Условие D₂ > 0 равносильно a < 25/8.
в) Объединение условий и границы.
Совместно получаем a ∈ (−∞; 0) ∪ (3; 25/8), причём a ≠ −3.
При a = −3 оба уравнения имеют по два корня, но общая точка (1; 1) учитывается дважды, поэтому различных решений три.
При a = 3 или a = 25/8 одно из квадратных уравнений имеет только один корень; четыре решения невозможны. Все остальные значения исключены полученными необходимыми условиями.
Ответ: a ∈ (−∞; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (3; 25/8).