Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение имеет единственное решение.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Замена переменной.
Положим t = 2ˣ. Тогда t > 0, 4ˣ = t². Каждому положительному t соответствует единственное x = log₂t.
Исходное уравнение равносильно t² + (a − 6)t − (2 + 3|a|)t − (a − 6)(2 + 3|a|) = 0.
Разложив левую часть на множители, получаем (t − 2 − 3|a|)(t + a − 6) = 0.
Следовательно, возможные корни: t₁ = 2 + 3|a| и t₂ = 6 − a.
б) Разбор случаев.
При любом a корень t₁ положителен. Поэтому единственное решение получается, если t₂ ≤ 0 либо t₂ = t₁.
Если a ≥ 6, то t₂ ≤ 0, и остаётся ровно один положительный корень t₁.
Если a < 6, оба корня положительны, поэтому они должны совпадать: 6 − a = 2 + 3|a|, то есть a + 3|a| = 4.
При 0 ≤ a < 6 получаем 4a = 4, откуда a = 1.
При a < 0 получаем −2a = 4, откуда a = −2.
Оба значения удовлетворяют условиям своих случаев. При остальных a < 6 положительные корни различны, поэтому решений два.
Ответ: a ∈ {−2; 1} ∪ [6; +∞).