Найдите все значения , при каждом из которых система неравенств
имеет хотя бы одно решение на отрезке .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Необходимые условия. Пусть система имеет решение x ∈ [3; 4].
Поскольку x > 0 и ax ≥ 2, обязательно a > 0. Поэтому ax ≤ 4a, откуда 4a ≥ 2 и a ≥ 1/2.
Кроме того, x ≤ 4, поэтому √(x − 1) ≤ √3. Из √(x − 1) > a следует a < √3.
Таким образом, все допустимые значения параметра принадлежат промежутку [1/2; √3). Ответ пункта а): 1/2 ≤ a < √3 — необходимое условие.
б) Достаточность и проверка границ. Пусть 1/2 ≤ a < √3. Покажем, что x = 4 удовлетворяет всей системе.
Первое неравенство выполняется: ax = 4a ≥ 2. Второе также выполняется: √(x − 1) = √3 > a.
Третье неравенство при x = 4 принимает вид 12 ≤ 2a + 11. Оно равносильно a ≥ 1/2 и потому выполняется.
При a = 1/2 значение x = 4 является решением. При a = √3 второе неравенство невозможно для любого x ∈ [3; 4]. При a < 1/2 или a > √3 нарушаются необходимые условия, полученные в пункте а).
Ответ: a ∈ [1/2; √3).