Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно 3 решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Равносильное преобразование.
Равенство √A = B равносильно системе A = B², B ≥ 0: при этих условиях A автоматически неотрицательно.
Поэтому исходное уравнение равносильно системе
x⁴ − 16x² + 64a² = (x² + 4x − 8a)²,
x² + 4x − 8a ≥ 0.
Раскрывая скобки и перенося слагаемые, получаем 8x(x² + (4 − 2a)x − 8a) = 0,
то есть x(x + 4)(x − 2a) = 0.
Следовательно, возможны только корни x = 0, x = −4, x = 2a; остаётся проверить неравенство.
б) Проверка кандидатов.
При x = 0 и при x = −4 правая часть исходного уравнения равна −8a. Каждый из этих корней подходит тогда и только тогда, когда a ≤ 0.
При x = 2a правая часть равна 4a² ≥ 0, поэтому этот корень подходит при любом a.
в) Число различных решений.
Если a > 0, имеется ровно одно решение x = 2a.
Если a ≤ 0, подходят все три кандидата. Они различны, кроме случаев 2a = 0 или 2a = −4, то есть a = 0 или a = −2.
При a = 0 и a = −2 имеются ровно два различных решения: 0 и −4.
Следовательно, ровно три решения получаются при a < 0, a ≠ −2.
Ответ: a ∈ (−∞; −2) ∪ (−2; 0).