Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Равносильное преобразование системы.
Равенство квадратных корней равносильно условиям y² = a²x² и y² ≤ 36: при них оба подкоренных выражения равны и неотрицательны.
Второе уравнение задаёт окружность (x − 1)² + (y − 3)² = 10.
Положим t = |a| ≥ 0. Нужно найти число точек этой окружности на прямых y = tx и y = −tx, удовлетворяющих |y| ≤ 6.
Точка O(0; 0) принадлежит окружности и обеим прямым при любом t.
б) Пересечения с прямыми и проверка ограничений.
Для прямой y = mx подстановка в уравнение окружности даёт x((1 + m²)x − 2 − 6m) = 0.
Помимо O, возможна точка P: x = (2 + 6m)/(1 + m²), y = m(2 + 6m)/(1 + m²). Она совпадает с O только при m = −1/3.
При t = 0 обе прямые совпадают с осью Ox. Система имеет ровно два решения: (0; 0) и (2; 0).
Пусть t > 0. Для m = t дополнительная точка P₊ отлична от O, причём y₊ = (2t + 6t²)/(1 + t²) > 0.
Условие y₊ ≤ 6 равносильно 2t ≤ 6, то есть t ≤ 3. Значит, P₊ допустима ровно при 0 < t ≤ 3.
Для m = −t имеем y₋ = (6t² − 2t)/(1 + t²). Неравенство y₋ ≤ 6 выполняется при любом t > 0.
Неравенство y₋ ≥ −6 равносильно 12t² − 2t + 6 ≥ 0; оно верно, поскольку 12t² − 2t + 6 = 12(t − 1/12)² + 71/12 > 0.
Следовательно, P₋ всегда допустима, но при t = 1/3 совпадает с O. При t > 0 прямые различны и имеют только одну общую точку O.
в) Подсчёт решений.
При 0 < t ≤ 3 и t ≠ 1/3 имеются три различных решения O, P₊, P₋; в частности, t = 3 не подходит.
При t = 1/3 остаются ровно два решения O и P₊.
При t > 3 остаются ровно два решения O и P₋.
С учётом случая t = 0 получаем |a| ∈ {0; 1/3} ∪ (3; +∞).
Ответ: a ∈ (−∞; −3) ∪ {−1/3; 0; 1/3} ∪ (3; +∞).