Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и возможные корни. Логарифмы определены при x + a > 0 и 2x − a > 0.
На ОДЗ уравнение равносильно (5x − 2)(ln(x + a) − ln(2x − a)) = 0.
По свойству произведения и строгой монотонности логарифма получаем: x = 2/5 или x + a = 2x − a, то есть x = 2a. Каждый кандидат необходимо проверить по ОДЗ и условию x ∈ [0; 1].
б) Условия допустимости кандидатов. Число x = 2/5 принадлежит [0; 1]. Оно удовлетворяет ОДЗ тогда и только тогда, когда 2/5 + a > 0 и 4/5 − a > 0, то есть −2/5 < a < 4/5.
Для x = 2a оба аргумента логарифмов равны 3a. Поэтому необходимы и достаточны условия a > 0 и 0 ≤ 2a ≤ 1, то есть 0 < a ≤ 1/2.
Кандидаты совпадают при 2a = 2/5, то есть a = 1/5. При этом значении ОДЗ выполнено и имеется ровно один корень.
в) Разбор всех случаев. Если a ≤ −2/5 или a ≥ 4/5, ни один кандидат не подходит, поэтому корней нет.
Если −2/5 < a ≤ 0 или 1/2 < a < 4/5, подходит только x = 2/5, поэтому корень ровно один.
Если 0 < a ≤ 1/2, подходят оба кандидата. При a ≠ 1/5 они различны, поэтому корней два; при a = 1/5 корень один. Значения a = −2/5 и a = 4/5 исключены из-за нулевого аргумента логарифма; при a = 1/2 имеются два различных корня: 2/5 и 1.
Ответ: a ∈ (−0,4; 0] ∪ {0,2} ∪ (0,5; 0,8).