Найдите все значения при каждом из которых уравнение
на отрезке имеет ровно один корень.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Равенство квадратных корней равносильно равенству подкоренных выражений при условии неотрицательности одного из них. Поэтому исходное уравнение равносильно системе условий:
3x² − (4a + 2)x + a² + 2a = 0; x² − a² ≥ 0; 0 ≤ x ≤ 1.
Разложим многочлен на множители: (x − a)(3x − a − 2) = 0. Возможные корни: x₁ = a и x₂ = (a + 2)/3.
На отрезке [0; 1] условие x² − a² ≥ 0 равносильно x ≥ |a|. При его выполнении второе подкоренное выражение также неотрицательно, поскольку равно первому.
б) Корень x₁ = a допустим тогда и только тогда, когда 0 ≤ a ≤ 1: при этих значениях он принадлежит отрезку и a² − a² = 0.
Для допустимости x₂ необходимы и достаточны условия 0 ≤ (a + 2)/3 ≤ 1 и (a + 2)/3 ≥ |a|.
Первое двойное неравенство даёт −2 ≤ a ≤ 1. Второе равносильно двум неравенствам a + 2 ≥ 3a и a + 2 ≥ −3a, то есть a ≤ 1 и a ≥ −1/2.
Таким образом, x₂ допустим ровно при −1/2 ≤ a ≤ 1. Корни совпадают только при a = (a + 2)/3, то есть при a = 1.
в) При a < −1/2 или a > 1 допустимых корней нет. При −1/2 ≤ a < 0 допустим только x₂, поэтому корень ровно один.
При 0 ≤ a < 1 допустимы оба различных корня. В частности, при a = 0 это 0 и 2/3.
При a = 1 оба выражения дают один корень x = 1. Левая граница a = −1/2 включается: единственный корень x = 1/2 удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: a ∈ [−0,5; 0) ∪ {1}.