Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Возможные корни и ОДЗ. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Следовательно, исходное уравнение равносильно условиям 9x² − a² = 0 и (x + 4)² − a² ≠ 0.
Из (3x − a)(3x + a) = 0 получаем возможные корни x₁ = a/3 и x₂ = −a/3.
При a = 0 они совпадают: x = 0. Знаменатель при этом равен 16, поэтому имеется ровно один корень. Значение a = 0 не подходит.
При a ≠ 0 возможные корни различны. Ровно два корня будут получены тогда и только тогда, когда оба удовлетворяют ОДЗ. Ответ пункта а): необходимо a ≠ 0 и допустимость обоих корней ±a/3.
б) Проверка допустимости и разбор исключений. Подставим x₁ = a/3 в знаменатель:
(a/3 + 4)² − a² = −8(a − 6)(a + 3)/9.
Следовательно, первый корень недопустим ровно при a = 6 или a = −3.
Подставим x₂ = −a/3 в знаменатель:
(4 − a/3)² − a² = −8(a − 3)(a + 6)/9.
Следовательно, второй корень недопустим ровно при a = 3 или a = −6.
При a ∈ {−6; −3; 3; 6} исключается ровно один из двух различных возможных корней, поэтому остаётся один корень. При a = 0 также имеется один корень.
При всех остальных значениях a оба возможных корня различны и допустимы, поэтому уравнение имеет ровно два корня.
Ответ: a ∈ (−∞; −6) ∪ (−6; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; 6) ∪ (6; +∞).