Найдите все положительные значения при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Равносильное преобразование.
Из второго уравнения y ≥ 0 и x = y² − 4. Поэтому решения системы взаимно однозначно соответствуют решениям уравнения |y² − 4| + y = a при y ≥ 0.
б) Исследование двух участков.
При 0 ≤ y ≤ 2 получаем a = 4 + y − y² = 17/4 − (y − 1/2)².
На отрезке [0; 1/2] это выражение строго возрастает от 4 до 17/4, а на [1/2; 2] строго убывает от 17/4 до 2. Это следует из изменения квадрата расстояния от y до 1/2.
При y ≥ 2 получаем a = y² + y − 4. Это выражение строго возрастает от 2 до бесконечности, поскольку при увеличении неотрицательного y возрастают оба слагаемых y² и y.
Точка y = 2 принадлежит обоим участкам, но задаёт одно решение.
в) Разбор положительных значений параметра.
При 0 < a < 2 решений нет; при a = 2 имеется одно решение y = 2.
При 2 < a < 4 имеется одно решение на (1/2; 2) и одно на (2; +∞), всего два.
При a = 4 на первом участке получаем y = 0 и y = 1, а на втором — ещё одно решение, всего три.
При 4 < a < 17/4 на первом участке два решения, на втором одно, всего три.
При a = 17/4 на первом участке одно решение y = 1/2, на втором ещё одно, всего два.
При a > 17/4 на первом участке решений нет, на втором одно.
Ответ: a ∈ (2; 4) ∪ {17/4}.