Найдите все значения при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Равносильное преобразование системы.
Произведение равно нулю, если подкоренное выражение неотрицательно и хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому первое уравнение задаёт объединение двух множеств: y = 2x − 12 и y = 2 − 12/x при y − 2x + 12 ≥ 0.
Для второго множества x ≠ 0, а условие под корнем принимает вид −2(x − 1)(x − 6)/x ≥ 0. Методом интервалов получаем x ∈ (−∞; 0) ∪ [1; 6].
Нужно подсчитать различные пересечения этих множеств с прямой y = ax − 10, учитывая совпадающие точки.
б) Подсчёт пересечений.
Прямые y = 2x − 12 и y = ax − 10 при a ≠ 2 пересекаются в одной точке: x = −2/(a − 2). При a = 2 они параллельны и пересечений нет.
Для пересечений с y = 2 − 12/x получаем ax² − 12x + 12 = 0, то есть a = 12/x − 12/x², где x ∈ (−∞; 0) ∪ [1; 6].
Введём t = 1/x. Тогда t ∈ (−∞; 0) ∪ [1/6; 1] и a = 12t − 12t² = 3 − 12(t − 1/2)².
На промежутке t < 0 эта парабола принимает каждое отрицательное значение ровно один раз, а неотрицательных значений не принимает.
На отрезке [1/6; 1/2] значения возрастают от 5/3 до 3, а на [1/2; 1] убывают от 3 до 0. Это следует из изменения квадрата (t − 1/2)² при удалении от вершины параболы.
Следовательно, число допустимых пересечений с гиперболой равно: 1 при a < 0; 1 при a = 0; 1 при 0 < a < 5/3; 2 при 5/3 ≤ a < 3; 1 при a = 3; 0 при a > 3.
Общие точки прямой y = 2x − 12 и гиперболы находятся из 2x − 12 = 2 − 12/x: x² − 7x + 6 = 0. Получаем (1; −10) и (6; 0).
Прямая y = ax − 10 проходит через первую точку только при a = 0, а через вторую — только при a = 5/3. Только при этих параметрах нужно исключить повторный подсчёт.
в) Разбор всех значений параметра.
При a < 0 и при 0 < a < 5/3 получаем 1 + 1 = 2 решения. При a = 0 получаем 1 + 1 − 1 = 1 решение.
При a = 5/3 получаем 1 + 2 − 1 = 2 решения.
При 5/3 < a < 3 и a ≠ 2 получаем 1 + 2 = 3 решения. При a = 2 пересечений с первой прямой нет, поэтому остаются ровно 2 решения.
При a = 3 получаем 1 + 1 = 2 решения; при a > 3 — только 1 решение.
Ответ: a ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 5/3] ∪ {2; 3}.