Найдите все значения при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Геометрическое описание и ОДЗ.
ОДЗ: 2x + y + 6 ≥ 0. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда x² + y² + 4x = 0 или 2x + y + 6 = 0, с учётом ОДЗ.
Следовательно, график первого уравнения состоит из прямой L: y = −2x − 6 и части окружности C: (x + 2)² + y² = 4, лежащей в полуплоскости 2x + y + 6 ≥ 0.
Прямая второго уравнения ℓ: y = a(x − 2) проходит через P(2; 0). При a ≠ −2 она пересекает L ровно в одной точке. При a = −2 прямые параллельны и различны.
б) Пересечения с окружностью.
Подстановка y = a(x − 2) в уравнение C даёт (1 + a²)x² + (4 − 4a²)x + 4a² = 0.
Дискриминант D = 16(1 − 3a²). Поэтому при |a| > √3/3 пересечений с окружностью нет, при |a| = √3/3 есть касание, при |a| < √3/3 имеются две точки пересечения.
Найдём концы отсекаемой дуги: подстановка y = −2x − 6 в уравнение окружности даёт 5x² + 28x + 36 = 0.
Отсюда A(−2; −2), B(−18/5; 6/5). Прямые PA и PB имеют угловые коэффициенты 1/2 и −3/14 соответственно.
При |a| < √3/3 две точки пересечения непрерывно движутся по окружности при изменении a. Число точек в разрешённой полуплоскости может измениться только при прохождении через A или B, то есть при a = 1/2 или a = −3/14.
При a = 0 точки пересечения — (0; 0) и (−4; 0); только первая удовлетворяет ОДЗ. Значит, при −3/14 < a < 1/2 остаётся ровно одна точка окружности.
При касании a = ±√3/3 точка касания имеет координаты (−1; −3a), и 2x + y + 6 = 4 − 3a > 0. Поэтому на каждом из промежутков (−√3/3; −3/14) и (1/2; √3/3) обе точки окружности удовлетворяют ОДЗ.
в) Подсчёт различных решений.
При −3/14 < a < 1/2 одна допустимая точка окружности и одна точка на L различны: всего два решения.
При a = −3/14 или a = 1/2 обе точки окружности допустимы, но одна совпадает с пересечением ℓ и L: всего два решения.
При a = ±√3/3 допустимая точка касания не лежит на L; вместе с пересечением ℓ и L получаем два решения.
При −√3/3 < a < −3/14 или 1/2 < a < √3/3 имеются три различных решения.
При |a| > √3/3 и a ≠ −2 имеется одно решение на L; при a = −2 решений нет. Все случаи рассмотрены.
Ответ: a ∈ {−√3/3} ∪ [−3/14; 1/2] ∪ {√3/3}.