Задание 19 ЕГЭ по профильной математике № 4B165e

а) Разложение на множители.
x² − x = x(x − 1), x⁴ − x³ − x + 1 = (x − 1)(x³ − 1).
Поэтому исходное уравнение равносильно уравнению
(x − 1)(xa² − (x³ − 1)a − x²) = 0,
то есть (x − 1)(ax + 1)(a − x²) = 0.
Следовательно, x = 1 всегда является корнем; остальные корни определяются уравнениями ax + 1 = 0 и x² = a.

б) Случаи a ≤ 0.
Если a < 0, уравнение x² = a не имеет действительных корней. Получаем x = 1 и x = −1/a.
Они совпадают только при −1/a = 1, то есть при a = −1. Значит, при a < 0 ровно два различных корня существуют тогда и только тогда, когда a ≠ −1.
Если a = 0, разложение принимает вид −x²(x − 1) = 0. Его различные корни: 0 и 1.
Ответ для a ≤ 0: a ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; 0].

в) Случай a > 0.
Все возможные корни: 1, −1/a, √a, −√a. Первые и третьи положительны, вторые и четвёртые отрицательны.
Совпадение положительных корней возможно только при √a = 1, то есть при a = 1.
Совпадение отрицательных корней означает 1/a = √a. Положив t = √a > 0, получаем t³ = 1, откуда t = 1 и a = 1.
Таким образом, при a > 0 и a ≠ 1 имеются четыре различных корня; при a = 1 остаются ровно два корня: −1 и 1.
Ответ: a ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; 0] ∪ {1}.