Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет меньше четырёх различных корней.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Раскроем модуль. При x ≥ 0 уравнение принимает вид a² + ax − 2x² − 6a + 6x = 0, то есть (a − x)(a + 2x − 6) = 0.
Отсюда x = a при a ≥ 0 или x = (6 − a)/2 при a ≤ 6. Условия на параметр обеспечивают принадлежность корней рассматриваемой полупрямой.
При x < 0 получаем a² + ax − 2x² − 6a − 12x = 0, то есть (a + 2x)(a − x − 6) = 0.
Отсюда x = −a/2 при a > 0 или x = a − 6 при a < 6.
Таким образом, каждая полупрямая даёт не более двух корней. Ответ пункта а): найдены все возможные корни с условиями их существования.
б) Рассмотрим все значения параметра. Если a < 0, существуют ровно два корня: (6 − a)/2 > 0 и a − 6 < 0.
Если a = 0, получаем три различных корня: −6, 0, 3.
Если 0 < a < 6, существуют два положительных кандидата a, (6 − a)/2 и два отрицательных кандидата −a/2, a − 6. Корни разных знаков совпасть не могут.
Положительные корни совпадают тогда и только тогда, когда a = (6 − a)/2, то есть a = 2.
Отрицательные корни совпадают тогда и только тогда, когда −a/2 = a − 6, то есть a = 4.
Поэтому при a = 2 и a = 4 имеются три различных корня, а при остальных a из (0; 6) — четыре.
Если a = 6, корни равны −3, 0, 6. Если a > 6, существуют ровно два корня: a > 0 и −a/2 < 0.
Ответ: a ∈ (−∞; 0] ∪ {2} ∪ {4} ∪ [6; +∞).