Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Равносильное преобразование системы.
ОДЗ: a − x² ≥ 0 и a − y² ≥ 0. Поэтому при a < 0 решений нет.
При выполнении ОДЗ равенство √(a − y²) = √(a − x²) равносильно равенству y² = x², то есть y = x или y = −x.
б) Нахождение возможных решений.
Если y = x, то второе уравнение принимает вид 2x² = 6x, откуда x = 0 или x = 3. Получаем пары (0; 0) и (3; 3).
Если y = −x, то 2x² = −2x, откуда x = 0 или x = −1. Получаем пары (0; 0) и (−1; 1).
Пара (0; 0) удовлетворяет ОДЗ при a ≥ 0; пара (−1; 1) — при a ≥ 1; пара (3; 3) — при a ≥ 9. Других решений нет, а пару (0; 0) учитываем один раз.
в) Разбор значений параметра.
При a < 0 решений нет; при 0 ≤ a < 1 имеется одно решение; при 1 ≤ a < 9 — ровно два; при a ≥ 9 — три.
Граница a = 1 включается, поскольку появляется второе решение (−1; 1). Граница a = 9 исключается, поскольку появляется третье решение (3; 3).
Ответ: a ∈ [1; 9).