Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Замена переменной. ОДЗ: x ≠ 0. Положим t = x + 4/x. Тогда уравнение принимает вид at² + 2t − 25a + 10 = 0.
Для каждого t обратная замена равносильна уравнению x² − tx + 4 = 0. Его дискриминант равен t² − 16, а нулевых корней нет, поскольку произведение корней равно 4.
Поэтому при |t| > 4 получаются два различных корня x, при t = ±4 — один, при |t| < 4 — ни одного. Различным значениям t соответствуют непересекающиеся множества корней x.
Разложим уравнение на множители: (t + 5)(at + 2 − 5a) = 0.
Значение t = −5 подходит при любом a и даёт x² + 5x + 4 = 0, то есть x = −1 или x = −4.
Ответ к пункту а): два корня существуют при любом a; необходимо определить, когда второй множитель не добавляет новых корней.
б) Разбор значений параметра. При a = 0 уравнение имеет вид 2(t + 5) = 0, поэтому имеются ровно два корня x.
При a ≠ 0 второй множитель даёт s = 5 − 2/a. Если s = −5, оба множителя дают одно значение t, поэтому корней x ровно два. Равенство 5 − 2/a = −5 даёт a = 1/5.
Если s ≠ −5 и |s| > 4, добавляются два новых корня, всего их четыре. Если |s| = 4, добавляется один корень, всего их три. Если |s| < 4, новых корней нет, всего их два.
Решим условие −4 < 5 − 2/a < 4. Оно равносильно двойному неравенству 1 < 2/a < 9.
Отсюда a > 0. Умножая на положительное a, получаем a < 2 и 2 < 9a, то есть 2/9 < a < 2.
При a = 2/9 и a = 2 значение s равно соответственно −4 и 4, поэтому эти границы исключаются. Все случаи параметра рассмотрены.
Ответ: a ∈ {0} ∪ {1/5} ∪ (2/9; 2).