Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Условия существования двух корней.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:
4x² − a² = 0, (x + 3)² − a² ≠ 0.
Из первого равенства x = a/2 или x = −a/2. Эти значения различны только при a ≠ 0.
б) Проверка допустимости корней.
При x = a/2 знаменатель равен (3 − a/2)(3 + 3a/2). Он обращается в нуль при a = 6 или a = −2.
При x = −a/2 знаменатель равен (3 − 3a/2)(3 + a/2). Он обращается в нуль при a = 2 или a = −6.
Следовательно, оба различных корня допустимы тогда и только тогда, когда a ∉ {−6; −2; 0; 2; 6}.
в) Граничные случаи.
При a = 0 имеется единственный корень x = 0, поскольку знаменатель при нём равен 9.
При каждом a ∈ {−6; −2; 2; 6} один из двух кандидатов запрещён, а другой допустим, поэтому корень только один.
При остальных значениях a оба кандидата допустимы и других корней нет.
Ответ: a ∈ (−∞; −6) ∪ (−6; −2) ∪ (−2; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2; 6) ∪ (6; +∞).