Задание 19 ЕГЭ по профильной математике № F3A6D5

а) Область допустимых значений и ветви решений.
ОДЗ: 2x + y + 6 ≥ 0. При этом произведение равно нулю тогда и только тогда, когда x² + y² + 4x = 0 или 2x + y + 6 = 0.
На прямой y = x + a условие ОДЗ имеет вид x ≥ h, где h = −(a + 6)/3.
Ветвь 2x + y + 6 = 0 при любом a даёт ровно одно решение: x = h, y = (2a − 6)/3.
Следовательно, для двух решений системы нужно ровно одно дополнительное решение с x > h на ветви x² + y² + 4x = 0.

б) Исследование второй ветви.
Подставляя y = x + a, получаем q(x) = 2x² + (2a + 4)x + a² = 0.
Дискриминант D = 4(8 − (a − 2)²). Обозначим α = 2 − 2√2, β = 2 + 2√2.
Если a < α или a > β, корней нет, поэтому система имеет только одно решение.
Если a = α или a = β, существует один корень x₀ = −(a + 2)/2. При этом x₀ − h = (6 − a)/6 > 0, поскольку β < 6. Значит, в каждом из этих двух случаев система имеет ровно два решения.

в) Случай двух различных корней.
Пусть α < a < β. Абсцисса вершины параболы равна v = −(a + 2)/2, причём v − h = (6 − a)/6 > 0: точка h расположена левее вершины.
Вычислим q(h) = a(5a − 24)/9.
Если q(h) < 0, точка h лежит между корнями, поэтому ровно один корень больше h и система имеет два решения.
Если q(h) = 0, меньший корень равен h и уже учтён в первой ветви; больший корень даёт одно дополнительное решение. Всего также два решения.
Если q(h) > 0, оба корня больше h, поскольку h < v. Вместе с первой ветвью получаем три решения.
Таким образом, требуется a(5a − 24) ≤ 0, то есть 0 ≤ a ≤ 24/5. Весь этот отрезок лежит внутри (α; β).
Ответ: a ∈ {2 − 2√2} ∪ [0; 4,8] ∪ {2 + 2√2}.