Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и равносильное преобразование. Логарифмы определены при 36 − y² > 0 и 36 − a²x² > 0. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7 строго возрастает, равенство логарифмов равносильно y² = a²x² при выполнении ОДЗ.
На множестве y² = a²x² оба условия ОДЗ совпадают и сводятся к |y| < 6. Поэтому требуется найти точки окружности x² + y² = 2x + 6y на прямых y = ax и y = −ax, удовлетворяющие |y| < 6.
б) Пересечение с произвольной прямой y = kx. После подстановки получаем x((1 + k²)x − 2(1 + 3k)) = 0.
Точка O(0; 0) всегда является решением и удовлетворяет ОДЗ. Вторая точка имеет координаты x = 2(1 + 3k)/(1 + k²), y = 2k(1 + 3k)/(1 + k²). Она отличается от O тогда и только тогда, когда k ≠ −1/3.
Для второй точки условие y < 6 равносильно 2k + 6k² < 6 + 6k², то есть k < 3.
Условие y > −6 равносильно 6k² + k + 3 > 0. Оно выполняется при любом k: дискриминант квадратного трёхчлена равен 1 − 72 = −71 < 0, а старший коэффициент положителен.
Итак, прямая y = kx даёт кроме O ровно одну допустимую точку тогда и только тогда, когда k < 3 и k ≠ −1/3.
в) Разбор значений параметра. При a = 0 обе прямые совпадают с y = 0. Получаем x(x − 2) = 0, то есть ровно два решения: (0; 0) и (2; 0).
При a ≠ 0 положим t = |a| > 0. Прямые y = tx и y = −tx различны и пересекаются только в O, поэтому их дополнительные точки различны.
Если 0 < t < 3 и t ≠ 1/3, обе прямые дают по дополнительной допустимой точке: всего три решения. При t = 1/3 прямая с k = −1/3 даёт только O, а другая — ещё одну точку: всего два решения.
При t ≥ 3 прямая с k = t не даёт дополнительной допустимой точки (при t = 3 она имеет y = 6 и исключается ОДЗ). Прямая с k = −t даёт одну дополнительную точку, поэтому решений ровно два.
Ответ: a ∈ (−∞; −3] ∪ {−1/3; 0; 1/3} ∪ [3; +∞).