Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и равносильное преобразование.
Логарифмы определены при a − y² > 0 и a − x² > 0. Поскольку логарифмическая функция с основанием 11 строго возрастает, первое уравнение равносильно равенству y² = x² при сохранении ОДЗ.
Следовательно, y = x или y = −x.
б) Нахождение возможных решений.
При y = x второе уравнение принимает вид 2x² = 8x, откуда x = 0 или x = 4. Получаем пары (0; 0) и (4; 4).
При y = −x получаем 2x² = −4x, откуда x = 0 или x = −2. Получаем пары (0; 0) и (−2; 2).
Таким образом, возможны только три различные пары: (0; 0), (−2; 2), (4; 4).
в) Разбор значений параметра.
Пара (0; 0) удовлетворяет ОДЗ при a > 0; пара (−2; 2) — при a > 4; пара (4; 4) — при a > 16.
При a ≤ 0 решений нет; при 0 < a ≤ 4 имеется одно решение; при 4 < a ≤ 16 — два; при a > 16 — три.
Граница a = 4 исключается, поскольку пара (−2; 2) не удовлетворяет строгим неравенствам ОДЗ. Граница a = 16 включается: первые две пары допустимы, а третья ещё не входит в ОДЗ.
Ответ: a ∈ (4; 16].