Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и разложение на множители.
На отрезке [0; 1] необходимо выполнение условий x + 2a ≥ 0 и x − a > 0.
На ОДЗ уравнение равносильно (√(x + 2a) − x + 1) · ln(x − a) = 0.
Следовательно, ln(x − a) = 0 или √(x + 2a) = x − 1.
б) Первая ветвь.
Равенство ln(x − a) = 0 равносильно x − a = 1, откуда x = a + 1.
Условие x ∈ [0; 1] даёт −1 ≤ a ≤ 0. Условие x + 2a ≥ 0 даёт 3a + 1 ≥ 0, то есть a ≥ −1/3.
Условие x − a > 0 выполнено, поскольку x − a = 1.
Таким образом, первая ветвь даёт ровно один корень при a ∈ [−1/3; 0] и не даёт корней при остальных a.
в) Вторая ветвь.
При x ∈ [0; 1] величина x − 1 неположительна, а √(x + 2a) неотрицательна. Их равенство возможно только тогда, когда обе величины равны нулю.
Получаем x = 1 и 1 + 2a = 0, то есть a = −1/2.
Проверка ОДЗ: x + 2a = 0, x − a = 3/2 > 0. Следовательно, вторая ветвь даёт единственный корень x = 1 только при a = −1/2.
Значение −1/2 не принадлежит [−1/3; 0], поэтому при каждом из найденных значений параметра работает ровно одна ветвь и имеется ровно один корень. При остальных a корней на отрезке нет.
Ответ: a ∈ {−1/2} ∪ [−1/3; 0].