Найдите все значения , при каждом из которых система неравенств
имеет хотя бы одно решение на отрезке .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Необходимые условия.
Пусть система имеет решение x ∈ [4; 5]. Из x + a ≤ 6 следует a ≤ 6 − x ≤ 2. Значит, необходимо a ≤ 2.
Второе неравенство равносильно a² < 6x − x².
При x ∈ [4; 5] выполняется (x − 4)(x − 2) ≥ 0. Раскрывая скобки, получаем x² − 6x + 8 ≥ 0, то есть 6x − x² ≤ 8.
Следовательно, a² < 8, откуда −2√2 < a < 2√2.
Совмещая это условие с a ≤ 2, получаем необходимое условие: −2√2 < a ≤ 2.
б) Достаточность и граничные значения.
Пусть −2√2 < a ≤ 2. Покажем, что x = 4 удовлетворяет всей системе и принадлежит заданному отрезку.
Первое неравенство выполнено: 2a ≤ 4 = x. Третье также выполнено: x + a = 4 + a ≤ 6.
Из −2√2 < a ≤ 2 < 2√2 следует a² < 8. Поэтому 6x = 24 > 16 + a² = x² + a², то есть второе неравенство выполнено.
Таким образом, все значения найденного промежутка подходят. При a = −2√2 строгое неравенство невозможно, поскольку a² = 8 ≥ 6x − x² на всём отрезке. При a = 2 значение x = 4 удовлетворяет системе, поэтому правая граница включается.
Ответ: a ∈ (−2√2; 2].