Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое трёхзначное и оба кратны 45.
а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205?
б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Подходит пара 1935 и 270: 1935 + 270 = 2205.
Каждая заданная цифра использована ровно один раз. Оба числа оканчиваются на 0 или 5, а суммы их цифр равны 18 и 9. Значит, оба числа делятся на 5 и на 9, следовательно, на 45.
Ответ: да.
б) Найдём все возможные трёхзначные числа в такой паре. Последние цифры двух чисел — 0 и 5, поскольку оба числа кратны 5, а повторять цифры нельзя.
Если трёхзначное число оканчивается на 0, его первые две цифры выбираются из 1, 2, 3, 7, 9: цифра 5 занята последним разрядом другого числа.
Сумма этих двух цифр должна делиться на 9. Она не больше 16, поэтому равна 9. Единственная подходящая пара — 2 и 7. Получаем 270 или 720.
Если трёхзначное число оканчивается на 5, первые две цифры также выбираются из 1, 2, 3, 7, 9. Их сумма вместе с 5 должна делиться на 9, поэтому сумма первых двух цифр равна 4 или 13.
Сумму 4 даёт только пара 1 и 3; сумму 13 никакая пара из указанных цифр не даёт. Получаем 135 или 315.
Таким образом, трёхзначное число — одно из чисел 270, 720, 135, 315. Ни одно из них не содержит цифры 9, поэтому четырёхзначное число обязано её содержать.
Но при сумме 3435 четырёхзначное число соответственно равно 3165, 2715, 3300 или 3120. Ни одно из этих чисел не содержит цифры 9. Получено противоречие.
Ответ: нет.
в) В разряде единиц стоят 0 и 5. Остальные цифры 1, 2, 3, 7, 9 занимают один разряд тысяч, два разряда сотен и два разряда десятков.
Чтобы получить верхнюю оценку суммы, наибольшую цифру 9 поставим в разряд тысяч, следующие по величине 7 и 3 — в разряды сотен, а 2 и 1 — в разряды десятков.
Такая расстановка даёт наибольшую сумму без учёта делимости на 9: если большая цифра стоит в разряде с меньшим весом, обмен с меньшей цифрой увеличивает сумму на произведение разности цифр и разности весов.
Следовательно, сумма любой допустимой пары не превосходит 9·1000 + (7 + 3)·100 + (2 + 1)·10 + 5 = 10035.
Оценка достигается для пары 9315 и 720. Все цифры использованы ровно один раз, числа оканчиваются на 5 и 0, суммы их цифр равны 18 и 9, поэтому оба числа кратны 45. Их сумма равна 10035.
Ответ: 10035.