На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 12.
а) Может ли наибольшее из этих десяти чисел равняться 14?
б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 8,4?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Обозначим числа в порядке возрастания: x₁ < x₂ < … < x₁₀. По условию x₁ + … + x₆ = 36, x₅ + … + x₁₀ = 72.
а) Если x₁₀ = 14, то шесть наибольших различных натуральных чисел имеют сумму не более 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 69. Это противоречит сумме 72.
Ответ: нет.
б) Если среднее всех чисел равно 8,4, то их сумма равна 84. Складывая две суммы из условия, получаем 108 = 84 + x₅ + x₆, откуда x₅ + x₆ = 24.
Поскольку x₅ < x₆, имеем x₆ ≥ 13. Следующие четыре числа не меньше 14, 15, 16, 17 соответственно. Поэтому x₅ + … + x₁₀ ≥ 24 + 14 + 15 + 16 + 17 = 86, что противоречит условию.
Ответ: нет.
в) Пусть S — сумма всех десяти чисел. Тогда S = 108 − (x₅ + x₆). Докажем, что x₅ + x₆ ≤ 19.
Если x₅ + x₆ ≥ 20, то из x₅ < x₆ следует x₆ ≥ 11. Тогда x₇ ≥ 12, x₈ ≥ 13, x₉ ≥ 14, x₁₀ ≥ 15, поэтому сумма шести наибольших чисел не меньше 20 + 12 + 13 + 14 + 15 = 74. Противоречие.
Следовательно, S ≥ 108 − 19 = 89, а среднее арифметическое не меньше 8,9.
Оценка достигается на числах 1, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 16. Сумма шести наименьших равна 36, шести наибольших — 72, всех чисел — 89.
Ответ: 8,9.