В школах 1 и 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы 1 в школу 2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе 1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе 2 равняться 7?
в) Средний балл в школе 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе 2.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Пусть в школе №1 тест писали два ученика, набравшие 1 и 19 баллов, а в школе №2 — семь учеников, набравшие по 1 баллу.
Первоначальные средние баллы равны 10 и 1 — оба целые. После перехода ученика с 19 баллами средний балл в школе №1 стал равен 1, то есть уменьшился в 10 раз.
Ответ: да.
б) Обозначим число участников из школы №1 через n, первоначальные средние баллы школ через A и B, балл перешедшего ученика через x. Тогда 2 ≤ n ≤ 7, а A, B, x — натуральные числа.
После уменьшения средних баллов на 10% получаем: nA − x = 9A(n − 1)/10 и (9 − n)B + x = 9B(10 − n)/10.
Из первого равенства 10x = (n + 9)A, из второго 10x = nB. Следовательно, (n + 9)A = nB.
Если B = 7, то 10x = 7n. Поскольку 7 и 10 взаимно просты, n должно делиться на 10, что невозможно при 2 ≤ n ≤ 7.
Ответ: нет.
в) Докажем, что натуральное число B не может быть меньше 5. Используем равенства 10x = nB и A = nB/(n + 9).
При B = 1 получаем, что n делится на 10; при B = 3 из делимости 3n на 10 следует то же самое. Оба случая невозможны при 2 ≤ n ≤ 7.
При B = 2 или B = 4 число n должно делиться на 5, поэтому n = 5. Тогда соответственно A = 10/14 = 5/7 или A = 20/14 = 10/7. Эти числа не целые, что противоречит условию.
Значит, B ≥ 5. Покажем, что B = 5 достижимо.
Пусть в школе №1 шесть участников набрали 3, 1, 2, 2, 2, 2 балла, а в школе №2 три участника набрали по 5 баллов. Первоначальные средние баллы равны 12/6 = 2 и 15/3 = 5.
После перехода ученика с 3 баллами средние станут равны 9/5 = 1,8 и 18/4 = 4,5. Это соответственно 90% от 2 и от 5, поэтому оба средних уменьшились на 10%.
Ответ: 5.