В школах 1 и 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы 1 в школу 2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе 1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе 1 вырос на 10%, средний балл в школе 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе 2 равняться 1?
в) Средний балл в школе 1 вырос на 10%, средний балл в школе 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе 2.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Обозначим первоначальные количества учащихся в школах через n и m, средние баллы — через A и B, балл перешедшего ученика — через x. Тогда n + m = 51, n ≥ 2, m ≥ 2; A, B и x — натуральные числа.
а) Если средний балл первой школы удвоился, то (nA − x)/(n − 1) = 2A, откуда x = (2 − n)A.
При n ≥ 2 получаем x ≤ 0, что противоречит натуральности балла. Ответ: нет.
б) При увеличении обоих средних баллов на 10% имеем nA − x = 11A(n − 1)/10 и mB + x = 11B(m + 1)/10.
Следовательно, 10x = A(11 − n) = B(m + 11). Так как x > 0, то n < 11.
Положим k = 11 − n. Тогда k — целое число от 1 до 9, m + 11 = k + 51, поэтому Ak = B(k + 51) и 10x = B(k + 51).
Если B = 1, то k + 51 делится на 10. Среди чисел от 52 до 60 это только 60, поэтому k = 9.
Но тогда A = 60/9, что не является целым числом. Ответ: нет.
в) Проверим возможность B = 2. Из 10x = 2(k + 51) следует, что k + 51 делится на 5, поэтому k = 4 или k = 9.
Из Ak = 2(k + 51) получаем A = 2 + 102/k. Ни при k = 4, ни при k = 9 число A не целое.
Таким образом, натуральное число B не равно ни 1, ни 2, следовательно, B ≥ 3.
Покажем, что B = 3 возможно. В первой школе тест писали 2 ученика с баллами 18 и 22, во второй — 49 учеников, каждый из которых набрал 3 балла.
Первоначальные средние баллы равны 20 и 3. После перехода ученика с 18 баллами средний балл первой школы равен 22, а второй — (49 · 3 + 18)/50 = 3,3.
Оба средних балла выросли ровно на 10%, все условия выполнены. Ответ: 3.