На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Обозначим количество синих карточек через b, красных — через r. Тогда наибольшее число на синей карточке равно r, а на красной — 2b. В частности, r делится на 5.
а) Возьмём одну синюю карточку с числом 5 и пять красных с числами −6, −4, −2, 0, 2.
Все числа больше −120, числа каждого цвета различны и имеют нужную делимость. Максимум на красных карточках равен 2 = 2 · 1, а на синей — 5, то есть количеству красных карточек. Всего карточек шесть.
Ответ: да.
б) Красные карточки содержат различные чётные числа, большие −120 и не превосходящие 2b. Это числа из списка −118, −116, …, 2b.
В этом списке (2b + 118)/2 + 1 = b + 60 чисел. Поэтому r ≤ b + 60.
Если бы r = b + 90, получили бы b + 90 ≤ b + 60, что невозможно.
Ответ: нет.
в) Синие карточки содержат различные числа, кратные 5, большие −120 и не превосходящие r. Поскольку r кратно 5, в списке −115, −110, …, r ровно (r + 115)/5 + 1 = r/5 + 24 числа. Следовательно, b ≤ r/5 + 24.
Используя r ≤ b + 60, получаем 5b ≤ r + 120 ≤ b + 180. Значит, b ≤ 45, а r ≤ b + 60 ≤ 105. Поэтому b + r ≤ 150.
Покажем, что оценка достигается. Возьмём синие карточки со всеми числами −115, −110, …, 105, а красные — со всеми числами −118, −116, …, 90.
Синих карточек (105 + 115)/5 + 1 = 45, красных (90 + 118)/2 + 1 = 105. Максимум на синих равен 105 — количеству красных; максимум на красных равен 90 = 2 · 45. Все остальные условия также выполнены, а всего карточек 150.
Ответ: 150.