На доске записано последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23.
а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?
б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?
в) Найдите наибольшее возможное значение
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Возьмём все натуральные числа от 69 до 138 включительно.
Среди них ровно три числа, кратных 20: 80, 100, 120, и четыре числа, кратных 23: 69, 92, 115, 138. Условие выполнено.
Ответ: да.
б) Пусть среди k последовательных чисел ровно m чисел, кратных 20. Любые 20 последовательных чисел содержат число, кратное 20. Поэтому k < 20(m + 1), иначе можно выделить m + 1 непересекающихся групп по 20 чисел.
Следовательно, k ≤ 20m + 19. При этом кратных 23 должно быть хотя бы m + 1. Между первым и последним из них расстояние не меньше 23m, поэтому k ≥ 23m + 1.
При m = 10 получаем одновременно k ≤ 219 и k ≥ 231, что невозможно.
Ответ: нет.
в) Для любого допустимого набора сохраняются оценки 23m + 1 ≤ k ≤ 20m + 19, где m — количество чисел, кратных 20.
Отсюда 23m + 1 ≤ 20m + 19, то есть 3m ≤ 18 и m ≤ 6. Поэтому k ≤ 20 · 6 + 19 = 139.
Покажем достижимость: возьмём числа от 161 до 299 включительно. Их количество равно 299 − 161 + 1 = 139.
Кратных 20 ровно шесть: 180, 200, 220, 240, 260, 280. Кратных 23 ровно семь: 161, 184, 207, 230, 253, 276, 299.
Условие выполнено, поэтому доказанная верхняя граница достигается.
Ответ: 139.