С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Пусть исходное трёхзначное число N = 100a + 10b + c, где a, b, c — цифры, 1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9, 0 ≤ c ≤ 9. Результат операции равен M = 100a + 20b + c + 3.
а) Возьмём N = 211. Его цифра десятков равна 1, поэтому M = 211 + 10·1 + 3 = 224.
Ответ: да.
б) Предположим, что M = 314. Тогда 100a + 20b + c = 311.
Первые два слагаемых делятся на 10, поэтому цифра единиц c = 1. После подстановки и деления на 10 получаем 10a + 2b = 31.
Левая часть чётная, а правая нечётная. Получено противоречие, следовательно, результат 314 невозможен.
Ответ: нет.
в) Отношение результата к исходному числу равно M/N = 1 + (10b + 3)/(100a + 10b + c).
При фиксированной цифре b числитель дроби положителен и постоянен. Поэтому отношение максимально при наименьшем знаменателе: a = 1, c = 0. Значит, M/N ≤ 1 + (10b + 3)/(100 + 10b).
Докажем, что при 0 ≤ b ≤ 9 выполняется (10b + 3)/(100 + 10b) ≤ 93/190.
Знаменатели положительны, поэтому это неравенство равносильно 190(10b + 3) ≤ 93(100 + 10b), то есть 970b ≤ 8730, или b ≤ 9. Последнее верно для любой цифры b.
Следовательно, M/N ≤ 1 + 93/190 = 283/190. Равенство достигается при N = 190: M = 190 + 90 + 3 = 283.
Ответ: 283/190.