На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом Найдите наименьшее возможное значение
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Сначала установим общее свойство записанных чисел. Возьмём любые два из них x и y. Для каждого k из чисел 3, 4, 5, 6 выберем ещё k − 1 чисел, отличных от x и y. Это возможно, поскольку остальных чисел восемь.
Сумма выбранных чисел вместе с x делится на k; то же верно при замене x на y. Вычитая суммы, получаем, что x − y делится на каждое из чисел 3, 4, 5, 6, а значит, на их наименьшее общее кратное 60.
Поскольку 30 021 = 60 · 500 + 21, все записанные числа имеют вид 60t + 21, где t — целое неотрицательное число. Обратно, любые десять различных натуральных чисел такого вида удовлетворяют условию: сумма любых k из них равна 60T + 21k и делится на k при k = 3, 4, 5, 6.
а) Число 351 = 60 · 5 + 51 имеет остаток 51 при делении на 60, тогда как каждое записанное число должно иметь остаток 21. Ответ: нет.
б) Если два числа равны x и 11x, то их разность 10x должна делиться на 60. Но при x = 60t + 21 получаем 10x = 600t + 210, что имеет остаток 30 при делении на 60. Получено противоречие. Ответ: нет.
в) Пусть отношение двух различных записанных чисел равно натуральному числу n: y = nx. Так как числа различны, n ≥ 2. Разность y − x = (n − 1)x делится на 60.
Подставляя x = 60t + 21, получаем, что 21(n − 1) делится на 60, то есть 7(n − 1) делится на 20. Числа 7 и 20 взаимно просты, поэтому n − 1 делится на 20. Из n ≥ 2 следует n ≥ 21.
Оценка достигается на десяти числах 21, 81, 141, 201, 261, 321, 381, 441, 501, 30 021. Они различны, натуральны и имеют остаток 21 при делении на 60, поэтому удовлетворяют условию, как доказано выше. При этом 441/21 = 21. Ответ: 21.