На доске написано единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: .
а) Можно ли получить сумму 113, если ?
б) Можно ли получить сумму 114, если ?
в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если ?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Возьмём 7 слагаемых 11 и 36 слагаемых 1.
Для такой записи потребуется 7 · 2 + 36 = 50 единиц, а сумма равна 7 · 11 + 36 = 113.
Ответ: да.
б) Любое число из k единиц при делении на 9 даёт тот же остаток, что и k: каждая степень числа 10 даёт остаток 1.
Поэтому полученная сумма и общее количество единиц имеют одинаковые остатки при делении на 9.
Число 50 даёт остаток 5, а число 114 — остаток 6. Следовательно, получить сумму 114 нельзя.
Ответ: нет.
в) В четырёхзначной сумме нет слагаемых из пяти и более единиц, поскольку каждое из них больше 9999.
Обозначим количество слагаемых 1111 через a. Если a ≥ 10, сумма больше 9999. Если a = 9, они используют 36 единиц, а оставшиеся 14 единиц дают сумму не меньше 14. Тогда общая сумма не меньше 9 · 1111 + 14 = 10013. Значит, a ≤ 8.
Для остальных слагаемых вклад в сумму на одну использованную единицу не превышает 37: 1 ≤ 37, 11 ≤ 2 · 37, 111 = 3 · 37.
Поэтому при a ≤ 7 сумма S удовлетворяет неравенству S ≤ 1111a + 37(50 − 4a) = 1850 + 963a ≤ 8591.
При a = 8 получаем S ≤ 8 · 1111 + 37 · 18 = 9554.
Эта оценка достигается: 8 слагаемых 1111 и 6 слагаемых 111 используют 8 · 4 + 6 · 3 = 50 единиц и дают сумму 8 · 1111 + 6 · 111 = 9554.
Ответ: 9554.