На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно четыре карточки?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на 60 больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Обозначим количество красных карточек через r, синих — через b. Тогда наибольшие числа на них равны соответственно 2b и r. При этом r делится на 3.
а) Возьмём одну синюю карточку с числом 3 и три красные с числами −2, 0, 2. Всего получится четыре карточки.
Все числа больше −72, условия делимости и различия чисел внутри каждого цвета выполнены. Максимум на красных равен 2 = 2b, на синих — 3 = r. Ответ: да.
б) На красных карточках могут стоять только чётные числа от −70 до 2b. Их количество равно (2b + 70)/2 + 1 = b + 36.
Поскольку числа на красных карточках различны, r ≤ b + 36, то есть r − b ≤ 36. Поэтому равенство r − b = 60 невозможно. Ответ: нет.
в) На синих карточках могут стоять только кратные 3 числа от −69 до r. Их количество равно (r + 69)/3 + 1 = r/3 + 24. Следовательно, b ≤ r/3 + 24.
С учётом оценки для красных карточек получаем r ≤ b + 36 ≤ r/3 + 60. Отсюда r ≤ 90.
Тогда b ≤ 90/3 + 24 = 54, поэтому общее количество карточек r + b ≤ 90 + 54 = 144.
Для достижения этой оценки на синих карточках запишем все кратные 3 числа от −69 до 90 включительно, а на красных — все чётные числа от −70 до 108 включительно.
Синих карточек будет (90 + 69)/3 + 1 = 54, красных — (108 + 70)/2 + 1 = 90.
Максимум на красных равен 108 = 2 · 54, на синих — 90, то есть количеству красных. Все числа больше −72, остальные условия выполнены. Таким образом, 144 карточки возможны. Ответ: 144.