На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11?
в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Расположим числа по возрастанию: x₁ < x₂ < … < x₁₀. По условию x₁ + … + x₆ = 30, а x₅ + … + x₁₀ = 90.
При сложении этих равенств числа x₅ и x₆ учитываются дважды. Поэтому сумма всех десяти чисел S = 120 − (x₅ + x₆).
а) Если x₁ = 3, то вследствие натуральности и различности чисел первые шесть чисел не меньше соответственно 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Тогда их сумма не меньше 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33, что противоречит равенству этой суммы 30.
Ответ: нет.
б) Если среднее всех чисел равно 11, то S = 110, откуда x₅ + x₆ = 10.
Но пятое из различных натуральных чисел не меньше 5, а шестое не меньше 6. Поэтому x₅ + x₆ ≥ 11. Получено противоречие.
Ответ: нет.
в) Докажем, что x₅ + x₆ ≥ 15. Предположим обратное: x₅ + x₆ ≤ 14.
Поскольку x₆ ≥ x₅ + 1, имеем 2x₅ + 1 ≤ 14, следовательно, x₅ ≤ 6.
Четыре предшествующих различных целых числа тогда удовлетворяют неравенствам x₁ ≤ 2, x₂ ≤ 3, x₃ ≤ 4, x₄ ≤ 5.
Получаем x₁ + … + x₆ ≤ 2 + 3 + 4 + 5 + 14 = 28, вопреки условию. Значит, x₅ + x₆ ≥ 15.
Следовательно, S ≤ 120 − 15 = 105, а среднее арифметическое всех чисел не превосходит 105/10 = 10,5.
Эта оценка достигается на числах 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 45. Они натуральные, различные и расположены по возрастанию.
Сумма шести наименьших равна 1 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30, а шести наибольших — 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 45 = 90. Общая сумма равна 105.
Ответ: 10,5.