Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна
а) Может ли быть равной ?
б) Может ли быть равной ?
в) Найдите наибольшее целое значение если каждое из исходных чисел было трёхзначным.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Четыре последовательных числа без нулевых последних цифр лежат в одном десятке. Запишем их как 10q + a, 10q + a + 1, 10q + a + 2, 10q + a + 3, где q — целое неотрицательное число, a ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
После деления на последние цифры получаем S = 4 + 10qH, где H = 1/a + 1/(a + 1) + 1/(a + 2) + 1/(a + 3).
а) Возьмём числа 12, 13, 14, 15.
Тогда S = 12/2 + 13/3 + 14/4 + 15/5 = 6 + 13/3 + 7/2 + 3 = 101/6 = 16 + 5/6.
Ответ: да.
б) Предположим, что S = 569 + 29/126. Тогда S − 4 = 71219/126.
Эта дробь несократима: числитель нечётен, сумма его цифр равна 20, а при делении на 7 он даёт остаток 1. Поэтому её знаменатель содержит множитель 3².
При a от 1 до 5 знаменатели слагаемых H входят в набор от 1 до 8. Их общий знаменатель можно выбрать равным 840, который не делится на 9.
Следовательно, после умножения H на целое число 10q знаменатель сокращённой дроби также не может делиться на 9. Эти пять случаев невозможны.
При a = 6 имеем H = 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 = 275/504, поэтому S − 4 = 1375q/252.
Равенство 1375q/252 = 71219/126 приводит к 1375q = 142438. Левая часть делится на 5, правая — нет. Последний случай также невозможен.
Ответ: нет.
в) Для трёхзначных исходных чисел 10 ≤ q ≤ 99. При a = 1 имеем H = 25/12, поэтому S = 4 + 125q/6.
Поскольку числа 125 и 6 взаимно просты, S целое тогда и только тогда, когда q делится на 6. Наибольшее такое q ≤ 99 равно 96.
Получаем S = 4 + 125 · 96/6 = 2004. Это значение достигается на числах 961, 962, 963, 964.
При a ≥ 2 каждое слагаемое H не больше соответствующего слагаемого при a = 2. Поэтому H ≤ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 = 77/60.
Тогда S ≤ 4 + 10 · 99 · 77/60 = 1274,5 < 2004. Следовательно, другие последние цифры большего значения не дают.
Ответ: 2004.