На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел
из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа большего 1. Найдите наименьшее возможное
значение
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Сначала установим общее свойство записанных чисел. Возьмём любые два из них a и b и ещё три других числа. Суммы двух четвёрок, состоящих из этих трёх чисел и соответственно a или b, делятся на 4. Их разность a − b также делится на 4.
Аналогично, выбрав четыре других числа и сравнив суммы двух пятёрок, получим, что a − b делится на 5. Выбрать нужные числа можно, поскольку всего чисел десять.
Таким образом, разность любых двух записанных чисел делится на 20: все числа имеют одинаковый остаток при делении на 20.
Обратно, если все числа имеют одинаковый остаток при делении на 20, то они имеют одинаковые остатки при делении на 4 и на 5. Поэтому сумма любых четырёх делится на 4, а сумма любых пяти — на 5. Условие задачи выполнено.
а) Разность 2013 − 403 = 1610 не делится на 20. Следовательно, эти два числа не могут одновременно находиться на доске.
Ответ: нет.
б) Число 403 при делении на 4 даёт остаток 3. Значит, каждое записанное число также даёт остаток 3 при делении на 4.
Квадрат чётного числа делится на 4, а квадрат нечётного числа (2t + 1)² = 4t(t + 1) + 1 даёт остаток 1. Остаток 3 невозможен.
Ответ: нет.
в) Поскольку среди чисел есть 1 и n², число n² − 1 должно делиться на 20.
Для n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 квадраты равны соответственно 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64. Ни один из них не даёт остаток 1 при делении на 20.
При n = 9 получаем n² = 81, причём 81 − 1 = 80 делится на 20.
Пример десяти подходящих различных натуральных чисел: 1, 21, 41, 61, 81, 101, 121, 141, 161, 181. Все они дают остаток 1 при делении на 20, поэтому по доказанному свойству удовлетворяют условию. Среди них есть 1 и 9².
Итак, значение n = 9 достижимо, а все меньшие натуральные n > 1 исключены.
Ответ: 9.