По кругу расставлено различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 365. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.
а) Может ли быть равным 200?
б) Может ли быть равным 109?
в) Найдите наибольшее значение
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Обозначим числа по кругу через a₁, …, aₙ; индексы понимаем циклически.
Вычитая суммы двух соседних четвёрок, получаем: aᵢ₊₄ − aᵢ делится на 4. Следовательно, aᵢ₊₄ и aᵢ имеют одинаковые остатки при делении на 4 и одинаковую чётность.
Суммы двух соседних троек нечётны, поэтому их разность aᵢ₊₃ − aᵢ чётна. Значит, aᵢ₊₃ и aᵢ также одной чётности.
Числа aᵢ₊₃ и aᵢ₊₄ имеют ту же чётность, что и aᵢ. Поэтому любые соседние числа одной чётности, то есть все числа одной чётности. Поскольку сумма трёх нечётна, все числа нечётные.
а) Среди натуральных чисел от 1 до 365 имеется 183 нечётных числа. Все записанные числа различны, поэтому N ≤ 183 и N = 200 невозможно.
Ответ: нет.
б) Пусть N = 109. Повторяя равенство остатков через четыре позиции 27 раз, получаем, что aᵢ₊₁₀₈ и aᵢ имеют одинаковые остатки при делении на 4.
На круге из 109 позиций aᵢ₊₁₀₈ = aᵢ₋₁. Таким образом, соседние числа имеют одинаковые остатки, а значит, все числа дают один остаток при делении на 4.
Все числа нечётные, поэтому этот остаток равен 1 или 3. В пределах от 1 до 365 чисел вида 4k + 1 всего 92, а вида 4k + 3 — 91. Разместить 109 различных чисел невозможно.
Ответ: нет.
в) Уже установлено, что N ≤ 183. Исключим N = 183.
Повторяя равенство остатков через четыре позиции 46 раз, получаем одинаковые остатки у aᵢ₊₁₈₄ и aᵢ. При N = 183 число aᵢ₊₁₈₄ совпадает с aᵢ₊₁.
Значит, все числа имеют один остаток при делении на 4, и их не более 92. Это противоречит N = 183. Следовательно, N ≤ 182.
Построим пример: расставим по кругу числа 1, 3, 5, …, 363 в указанном порядке. Их 182, все они различны и не превосходят 365.
Их остатки при делении на 4 чередуются: 1, 3, 1, 3, …, 1, 3. Чередование сохраняется и при переходе через конец списка. Поэтому сумма любых четырёх подряд имеет остаток 1 + 3 + 1 + 3 = 8, то есть делится на 4.
Каждое число нечётно, поэтому сумма любых трёх подряд нечётна. Все условия выполнены, и верхняя оценка достигается.
Ответ: 182.