На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число.
К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Возьмём числа 1, 2 и 9 и поместим их соответственно в первую, вторую и третью группы.
Первоначальная сумма равна 1 + 2 + 9 = 12, а новая — 11 + 28 + 9 = 48 = 4 · 12.
Ответ: да.
б) При приписывании цифры d число x превращается в 10x + d.
Для любого натурального x имеем 10x + 8 ≤ 18x, поскольку x ≥ 1. Кроме того, 10x + 1 < 18x и x < 18x.
Следовательно, каждое число увеличивается не более чем в 18 раз, причём для чисел первой и третьей групп неравенство строгое. Эти группы непусты, поэтому новая сумма строго меньше первоначальной суммы, умноженной на 18.
Ответ: нет.
в) Пусть в первой группе k чисел с суммой A, во второй — l чисел с суммой B, в третьей — m чисел с суммой C. Обозначим общее количество чисел через n, а их сумму через S.
По условию 10A + k + 10B + 8l + C = 11(A + B + C), откуда k + 8l = A + B + 10C = S + 9C.
Поскольку k ≥ 1, m ≥ 1 и C ≥ 1, получаем S = k + 8l − 9C = 8n − 7k − 8m − 9C ≤ 8n − 24.
Сумма n различных натуральных чисел не меньше 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. Поэтому n(n + 1)/2 ≤ 8n − 24.
При n ≥ 11 это невозможно: n(n + 1)/2 − 8n + 24 = ((n − 11)(n − 4) + 4)/2 > 0. Значит, n ≤ 10.
Покажем достижимость: в первую группу поместим число 2, во вторую — числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, в третью — число 1.
Все 10 чисел различны, их сумма равна 56. Сумма чисел второй группы равна 53, поэтому новая сумма равна 21 + 10 · 53 + 8 · 8 + 1 = 616 = 11 · 56.
Ответ: 10.