Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей.
а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей?
б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей?
в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Возьмём все 29 пятирублёвых монет и 15 двухрублёвых монет.
Получим 29 · 5 + 15 · 2 = 145 + 30 = 175 рублей. Имеющихся монет достаточно.
Ответ: да.
б) Общая стоимость всех монет равна 16 · 2 + 29 · 5 = 177 рублей.
Чтобы набрать 176 рублей, пришлось бы оставить монеты общей стоимостью 1 рубль. Это невозможно, поскольку каждая имеющаяся монета стоит не меньше 2 рублей.
Ответ: нет.
в) После добавления k рублёвых монет общая стоимость составит 177 + k рублей. Для получения 180 рублей необходимо 177 + k ≥ 180, то есть k ≥ 3.
Докажем, что трёх рублёвых монет достаточно.
Если некоторыми монетами можно набрать все целые суммы от 0 до M, то после добавления монеты достоинством d можно также набрать все суммы от d до M + d.
При d ≤ M + 1 эти два промежутка покрывают все целые суммы от 0 до M + d без пропусков.
Тремя рублёвыми монетами можно набрать все суммы от 0 до 3 рублей.
Последовательно добавляем 16 двухрублёвых монет. На каждом шаге 2 ≤ M + 1, поэтому получаем все суммы от 0 до 3 + 16 · 2 = 35 рублей.
Затем последовательно добавляем 29 пятирублёвых монет. На каждом шаге 5 ≤ M + 1, поэтому получаем все суммы от 0 до 35 + 29 · 5 = 180 рублей.
Таким образом, три монеты необходимы и достаточны.
Ответ: 3.