На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные числа, делящиеся на 3 (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно утроенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек?
б) Может ли на столе лежать ровно 100 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Обозначим количество красных карточек через r, синих — через b. По условию наибольшие числа на них равны соответственно 3b и r.
а) Возьмём одну синюю карточку с числом 5 и пять красных с числами −9, −6, −3, 0, 3.
Все числа больше −45 и имеют нужную делимость; внутри каждого цвета числа различны. Максимум на красных карточках равен 3 = 3 · 1, на синей — 5, количеству красных карточек. Ответ: да.
б) Если r = 100, то все числа на синих карточках — различные кратные 5 от −40 до 100. Поэтому b ≤ (100 + 40)/5 + 1 = 29.
Числа на красных карточках — различные кратные 3 от −42 до 3b. Таких чисел всего (3b + 42)/3 + 1 = b + 15 ≤ 44.
Следовательно, 100 красных карточек быть не может. Ответ: нет.
в) Число r написано на синей карточке, поэтому оно делится на 5. Всего кратных 5 от −40 до r имеется r/5 + 9, значит, b ≤ r/5 + 9.
Аналогично, кратных 3 от −42 до 3b имеется b + 15, поэтому r ≤ b + 15.
Объединяя оценки, получаем r ≤ r/5 + 24, откуда 4r/5 ≤ 24 и r ≤ 30.
Оценка достигается: возьмём синие карточки со всеми кратными 5 от −40 до 30 и красные — со всеми кратными 3 от −42 до 45.
Синих карточек будет 15, красных — 30. Их максимумы равны 30 и 45 = 3 · 15; остальные условия также выполнены. Ответ: 30.