На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.
а) Может ли на доске быть ровно 24 чётных числа?
б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Каждое написанное число относится ровно к одной из двух групп: чётные числа и числа, оканчивающиеся на 7. Числа второй группы нечётные.
а) Возьмём шесть чисел 7, 17, 27, 37, 47, 57 и 24 чётных числа: 2, 4, …, 46, 66.
Сумма шести нечётных чисел равна 192. Сумма выбранных чётных равна (2 + 46) · 23/2 + 66 = 618.
Все 30 чисел различны, их сумма равна 192 + 618 = 810, чётных ровно 24. Ответ: да.
б) Если ровно два числа оканчиваются на 7, то остальные 28 чисел чётные. Два различных натуральных числа, оканчивающихся на 7, имеют сумму не меньше 7 + 17 = 24.
Сумма 28 различных натуральных чётных чисел не меньше 2 + 4 + … + 56 = (2 + 56) · 28/2 = 812.
Общая сумма тогда не меньше 24 + 812 = 836 > 810. Ответ: нет.
в) Обозначим количество чисел, оканчивающихся на 7, через k. Поскольку сумма 810 чётная, количество нечётных слагаемых k должно быть чётным.
При k = 0 сумма 30 различных натуральных чётных чисел не меньше 2 + 4 + … + 60 = 930 > 810. Случай k = 2 исключён в пункте б). Следовательно, k ≥ 4.
Покажем достижимость: возьмём числа 7, 17, 27, 37 и 26 чётных чисел 2, 4, …, 50, 72. Все они различны.
Их сумма равна (7 + 17 + 27 + 37) + (2 + 50) · 25/2 + 72 = 88 + 650 + 72 = 810. Чисел, оканчивающихся на 7, ровно четыре. Ответ: 4.