На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 60 и меньше 140.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Рассмотрим пять чисел: 7, 9, 10, 11, 12.
Наименьшее произведение двух различных чисел равно 7 · 9 = 63 > 60, а наибольшее — 11 · 12 = 132 < 140. Поэтому все произведения удовлетворяют условию.
Ответ: да.
б) Предположим, что записаны шесть чисел a < b < c < d < e < f.
Если b ≤ 8, то a ≤ 7, поэтому ab ≤ 56, что противоречит условию. Следовательно, b ≥ 9.
Так как числа различные и натуральные, e ≥ b + 3 ≥ 12 и f ≥ b + 4 ≥ 13. Тогда ef ≥ 156 > 140 — противоречие.
Ответ: нет.
в) Пусть записаны четыре числа a < b < c < d. Как доказано выше, b ≥ 9.
Если a ≤ 6, то из ab > 60 следует b ≥ 11. Тогда c ≥ 12 и d ≥ 13, откуда cd ≥ 156, что невозможно.
Значит, a ≥ 7. Кроме того, b ≥ 9, c ≥ 10, d ≥ 11, поэтому a + b + c + d ≥ 7 + 9 + 10 + 11 = 37.
Оценка достигается на числах 7, 9, 10, 11: наименьшее произведение равно 63, наибольшее — 110, и оба удовлетворяют строгим ограничениям.
Ответ: 37.