На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Обозначим через x количество чисел, к которым применили первую операцию, а через y — количество остальных чисел. Первая операция изменяет число на 20 − 5 = 15, вторая — на −20 + 2 = −18. Поэтому изменение суммы равно 15x − 18y.
а) Если исходная сумма на 128 меньше полученной, то 15x − 18y = 128. Левая часть делится на 3, а правая не делится. Такое равенство невозможно.
Ответ: нет.
б) При равенстве сумм 15x = 18y, то есть 5x = 6y. Поскольку числа 5 и 6 взаимно просты, x = 6k, y = 5k, где k — целое неотрицательное число.
Тогда количество чисел равно x + y = 11k и делится на 11. Число 25 на 11 не делится.
Ответ: нет.
в) Для первой операции цифра единиц исходного числа должна быть не меньше 5, поэтому такое число не меньше 15.
Для второй операции цифра десятков исходного числа должна быть не меньше 3: иначе результат не будет двузначным натуральным числом. Поэтому такое число не меньше 30.
При равенстве сумм x = 6k и y = 5k, значит, исходная сумма S ≥ 15 · 6k + 30 · 5k = 240k.
Из S < 1198 следует 240k < 1198, откуда k ≤ 4. Следовательно, количество чисел не превосходит 11 · 4 = 44.
Оценка достигается: возьмём 24 числа 15 и 20 чисел 30. Первые преобразуем в 30, вторые — в 12. Исходная сумма равна 24 · 15 + 20 · 30 = 960, полученная — 24 · 30 + 20 · 12 = 960. Обе суммы меньше 1198, все числа двузначные.
Ответ: 44.