В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Пусть в группе n девушек и n юношей, из которых k отправили по 16 писем, остальные — по 5. Тогда 2 ≤ k ≤ n − 2, а общее число писем S = 16k + 5(n − k) = 5n + 11k.
а) Если каждая девушка получила 7 писем, то 5n + 11k = 7n, откуда 11k = 2n.
Возьмём n = 11, k = 2. Двое юношей отправят по 16 писем, девять — по 5; всего получится 77 писем. Их можно распределить между 11 девушками по 7 каждой.
Такое распределение осуществимо: выпишем все отправляемые письма подряд, сохраняя отправителей, и назначим получательницей первых семи писем первую девушку, следующих семи — вторую и так далее. Повторные письма одной девушке разрешены.
Ответ: да.
б) Пусть каждая девушка получила целое число m писем. Тогда 5n + 11k = mn, то есть 11k = (m − 5)n.
Если n < 11, то n и простое число 11 взаимно просты. Поэтому из делимости 11k на n следует делимость k на n. Это невозможно, поскольку 0 < k < n.
Следовательно, n ≥ 11. При n = 11 подходит распределение из пункта а), поэтому нижняя граница достигается.
Ответ: 11.
в) Упорядочим количества полученных писем по возрастанию. Это различные неотрицательные целые числа, поэтому они не меньше соответственно 0, 1, …, n − 1. Следовательно, S ≥ n(n − 1)/2.
Хотя бы двое юношей отправили по 5 писем, поэтому S ≤ 16(n − 2) + 10 = 16n − 22.
Получаем n(n − 1)/2 ≤ 16n − 22, или n² − 33n + 44 ≤ 0. При n ≥ 32 левая часть равна n(n − 33) + 44: при n = 32 она равна 12, а при n ≥ 33 положительна. Значит, n ≤ 31.
Покажем достижимость: пусть n = 31, двое юношей отправили по 5 писем, остальные 29 — по 16. Всего отправлено 10 + 29 · 16 = 474 письма.
Назначим девушкам попарно различные количества писем 0, 1, 2, …, 29, 39. Их сумма равна 29 · 30/2 + 39 = 474. Такое распределение реализуется последовательным назначением получательниц всем письмам, как в пункте а).
Ответ: 31.