Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.
а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски
длиной 1 см?
б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски
длиной 1 см?
в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
За один ход каждый имеющийся кусок можно разделить не более чем на две части. Поэтому после n ходов получится не более 2ⁿ кусков.
а) Четыре раза разрежем все имеющиеся куски пополам, складывая их друг на друга.
Длины кусков последовательно равны 8, 4, 2, 1 см. Все разрезы проходят на целочисленных расстояниях от концов.
За четыре хода получим 16 кусков по 1 см. Ответ: да.
б) Для линейки длиной 100 см нужно получить 100 кусков по 1 см.
После пяти ходов число кусков не превосходит 2⁵ = 32, а 32 < 100.
Ответ: нет.
в) Необходимо получить 200 кусков. Поскольку 2⁷ = 128 < 200, потребуется не менее восьми ходов.
Покажем, что восьми ходов достаточно. Последовательно используем расстояния от края 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 см.
На каждом ходе складываем с совмещением левых концов все куски, длина которых больше выбранного расстояния, и разрезаем их на этом расстоянии.
После первого хода длины кусков равны 128 и 72 см, то есть не превосходят 128 см.
Если перед очередным ходом длина каждого куска не превосходит 2d, то кусок длиной больше d разделится на части d и не более d. Остальные куски уже имеют длину не более d.
Значит, после следующих ходов все длины будут не больше 64, 32, 16, 8, 4, 2 и 1 см соответственно. Все части имеют положительные целые длины, поэтому в конце каждая имеет длину 1 см.
Нижняя оценка достигнута. Ответ: 8.