Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй 89,
а в третьей 15?
б) Мог ли в третьей коробке оказаться 201 камень?
в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Каждый ход сохраняет общее число камней: 97 + 104 = 201.
а) Покажем, как за три хода перевести состояние (x, y, z) в (x, y − 3, z + 3).
Последовательно кладём камни в третью, первую и третью коробки:
(x, y, z) → (x − 1, y − 1, z + 2) → (x + 1, y − 2, z + 1) → (x, y − 3, z + 3).
Повторив эту последовательность пять раз, получим (97, 104, 0) → (97, 89, 15). Все ходы допустимы: в коробках, из которых берут камни, есть камни.
Ответ: да.
б) Рассмотрим разность числа камней в первой и третьей коробках. При ходе она изменяется на 3, −3 или 0, поэтому её остаток при делении на 3 сохраняется.
Изначально разность равна 97 и даёт остаток 1. Если в третьей коробке 201 камень, остальные коробки пусты, а разность равна −201 и делится на 3. Получено противоречие.
Ответ: нет.
в) Пусть в третьей коробке z камней, а в первой — 1. По доказанному свойству число 1 − z имеет тот же остаток при делении на 3, что и 97. Следовательно, z делится на 3.
Из сохранения общего числа камней следует z ≤ 200. Наибольшее кратное 3, удовлетворяющее этой оценке, равно 198.
Докажем достижимость: 96 раз берём по камню из первой и второй коробок и кладём их в третью. Получаем (1, 8, 192).
Затем дважды выполняем последовательность из пункта а):
(1, 8, 192) → (0, 7, 194) → (2, 6, 193) → (1, 5, 195) → (0, 4, 197) → (2, 3, 196) → (1, 2, 198).
Все ходы допустимы, поэтому оценка достигается.
Ответ: 198.