Ваня написал на доске трёхзначное число Петя переписал это число вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число Коля тоже переписал это число вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число
а) Может ли быть верным равенство если ?
б) Может ли быть верным равенство если ?
в) Найдите наибольшее число для которого может быть верным равенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Да. Возьмём A = 625. Вычеркнув цифру 6, и Петя, и Коля получат число 25.
Тогда B · C = 25² = 625 = A, причём A > 150. Ответ: да.
б) Если 540 ≤ A < 600, то цифра сотен равна 5, а цифра десятков не меньше 4.
При вычёркивании цифры сотен получится число не меньше 40; при вычёркивании любой другой цифры — число не меньше 50.
Поэтому B ≥ 40 и C ≥ 40, откуда B · C ≥ 1600 > A. Равенство невозможно. Ответ: нет.
в) Число A = 910 подходит: вычеркнув последнюю цифру, получаем B = 91, а вычеркнув первую — C = 10. При этом 91 · 10 = 910.
Докажем, что большее трёхзначное число не подходит. Пусть 911 ≤ A ≤ 999; запишем A = 900 + 10b + c, где b и c — цифры.
После вычёркивания одной цифры можно получить только двузначные числа из списка 10b + c, 90 + c, 90 + b.
Если 990 ≤ A ≤ 999, то b = 9 и все эти числа не меньше 90. Следовательно, B · C ≥ 8100 > A.
Пусть теперь 911 ≤ A ≤ 989. Тогда 10b + c ≥ 11, а два остальных числа не меньше 90.
Если хотя бы одно из чисел B, C получено вычёркиванием цифры десятков или единиц, то B · C ≥ 90 · 11 = 990 > A.
Остаётся случай B = C = 10b + c. Тогда A является квадратом целого числа. Между 911 и 989 находится только один такой квадрат: 31² = 961, поскольку 30² = 900, а 32² = 1024.
Но для A = 961 вычёркивание цифры сотен даёт 61, и 61² ≠ 961. Этот случай также невозможен.
Таким образом, подходящих чисел больше 910 нет. Ответ: 910.