На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Обозначим через k количество чисел, оканчивающихся на 6. Тогда остальные 30 − k чисел оканчиваются на 2.
а) Если чисел каждого вида по 15, то последняя цифра их суммы совпадает с последней цифрой числа 15 · 2 + 15 · 6 = 120, то есть равна 0. Однако сумма 2454 оканчивается на 4. Получено противоречие.
Ответ: нет.
б) Если только одно число оканчивается на 6, то 29 различных чисел, оканчивающихся на 2, имеют сумму не меньше суммы 2 + 12 + … + 282.
По формуле суммы арифметической прогрессии общая сумма всех чисел не меньше (2 + 282) · 29/2 + 6 = 4124. Это больше 2454.
Ответ: нет.
в) По последней цифре суммы получаем: 2(30 − k) + 6k = 60 + 4k должно оканчиваться на 4. Следовательно, k − 1 делится на 5.
Поэтому при k < 11 возможны только k = 1 и k = 6. Случай k = 1 исключён в пункте б).
При k = 6 наименьшие возможные числа каждого вида — это 2, 12, …, 232 и 6, 16, …, 56. Любой другой выбор различных чисел соответствующего вида имеет не меньшую сумму.
Значит, общая сумма не меньше (2 + 232) · 24/2 + (6 + 56) · 6/2 = 2808 + 186 = 2994 > 2454. Следовательно, k ≥ 11.
Покажем достижимость: возьмём 19 чисел 2, 12, …, 172, 272 и 11 чисел 6, 16, …, 106. Все 30 чисел натуральные и различные.
Их сумма равна (2 + 172) · 18/2 + 272 + (6 + 106) · 11/2 = 1566 + 272 + 616 = 2454. Ровно 11 чисел оканчиваются на 6.
Ответ: 11.